이어지는 벤슨 메이츠 연습문제 4장 해답입니다. 틀릴 수 있으니 오류가 있으면 언제든지 알려주세요.
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저자인 벤슨 메이츠는 언어 L의 모든 비논리 상항(non-logical constants)에 외연(denotation)을 할당하기 때문에 문장에 나타나는 비논리상항들이 지시체를 지니고 있음을 전제하도록 하겠습니다. 일반적으로 ‘타당하다’라는 표현은 논증에 적용하는 것입니다만 이 책에서는 문장이 하나인 경우도 논증으로 바라보고 어떤 문장이 타당하다는 것을 그 문장이 모든 해석에서 참인 경우를 고려하는 것으로 보입니다. 정리해서, ‘주어진 문장이 타당하다’는 것을 그 문장이 모든 해석에서 참이다로 이해하고 1번부터 풀어 보겠습니다. 문장이 적기 힘들어서, $\varphi$는 A로 $\psi$는 B로 $\chi$는 C로 적었습니다.
1. A를 임의의 문장이라고 합시다. 그리고 ￢A를 타당한 문장이라고 합시다. 그러면 ￢A는 타당하기 때문에 모든 해석에서 참입니다. ￢A가 모든 해석에서 참이되기 때문에 A는 모든 해석에서 거짓이 됩니다. A가 참인 해석이 없기 때문에 A가 전제로 사용될 경우, 전제가 참이면서 결론이 거짓인 해석 역시 없게 됩니다. 그러므로 모든 문장은 A의 귀결입니다.
2. {A, B}가 비일관적인 문장 집합이라고 합시다. 그러면 A와 B가 모두 참인 해석이 없게 됩니다. 다시 말해, A와 B를 전제로 지니는 논증은 전제들이 모두 참이면서 결론이 거짓인 해석을 지니지 않게 됩니다. 그러므로 모든 문장은 {A, B}의 귀결입니다.
3. A를 타당한 문장이라고 합시다. 그러면 A는 모든 해석에서 참이 됩니다. 그런데 A가 논증의 결론이 된다면 전제가 참이면서 결론이 거짓인 해석에 없게 됩니다. 그러므로 A는 모든 문장들의 귀결이 됩니다.
4. ‘if and only if’ 관계를 보이는 문제입니다. 이런 종류의 문제는 왼쪽을 가정해서 오른쪽을 이끌어 내고 또한 오른쪽을 가정해서 왼쪽을 이끌어 내면 됩니다.
A와 B가 임의의 문장이라고 합시다. 먼저 왼쪽을 가정해 오른쪽을 보여 봅시다. B가 A의 귀결임을 가정합니다. 이는 A가 참이면서 B가 거짓인 해석이 없음을 말합니다. 이는 곧, A→B가 거짓인 해석이 없음을 말합니다. A→B는 모든 해석에서 참이므로 A→B는 타당합니다.
이제 오른쪽을 가정해서 왼쪽을 보여 봅시다. A→B가 타당함을 가정합니다. 그러면 A→B가 모든 해석에서 참입니다. 이는 A가 참이고 B가 거짓인 해석이 없다는 말이 됩니다. 그러므로 B가 A의 귀결입니다.
5. ￢A가 타당한 문장이라고 합시다. 그러면 ￢A는 모든 해석에서 참이기 때문에 A는 모든 해석에서 거짓입니다. 다시 말해, A가 참인 해석이 없다는 말입니다. 즉 {A}의 모든 문장이 참인 해석이 없다는 말입니다. 그러므로 A는 그 자신과 비일관적입니다.
6. ∀xFx를 참이게 만드는 해석을 제시하는 문제로 이해했습니다. ‘true under every ‘a’-variant of L’을 어떻게 이해하는 가에 따라 답이 아닐 수도 있겠습니다. 오류가 있다고 생각되시면 댓글로 답을 알려주세요. 그럼, 논의영역(domain)을 사람들의 집합으로 두고 ‘Fx’를 ‘x는 포유류이다.’로 둡니다. ‘a’를 자유변항(free variable) 정도로 생각할 때, 모든 사람들은 포유류이니 논의영역의 모든 대상이 Fx를 만족하게 됩니다.
7. 논의영역을 사람들의 집합으로 두고 문제를 풀어 보겠습니다.
(a) $F_1 x$: x는 남자다, a:힐베르트 (남자 이름 아무거나.)
(b) $F_1 x$: x는 남자다, a:이효리 (여자 이름이 아닌 것 아무거나.)
(c) $F^{1}_{1}x$: x는 남자다, a:이효리 (사람 집합의 모든 대상들이 남자인 것은 아니니 전건이 거짓이고 이효리는 남자가 아니니 후건도 거짓이 됩니다. 그래서 해당 문장은 참이 됩니다.)
(d) $F^{1}_{1}x$: x는 남자다. (사람들의 집합을 구성하는 대상들이 모두 남자이거나 남자가 아닌 경우를 고려했습니다.)
8. (6)은 ∀xAx → Aa 형식의 문장이고 (10)은 ∀x(Ax ∨￢Ax) 형식의 문장입니다. 두 문장은 타당한 문장이기 때문에 거짓이 될 수 없습니다. 먼저, (6)이 거짓이기 위해서는 ∀xAx가 참이면서 Aa가 거짓이어야 합니다. 그런데 ∀xAx가 참이라면 공집합이 아닌 어떠한 논의영역을 지니던 Aa는 참이 됩니다. 만약 ∀xAx가 거짓이 되는 논의영역이라면 Aa가 참이든지 거짓이든지 ∀xAx → Aa는 참이 됩니다. 그러므로 ∀xAx → Aa가 거짓이 되는 해석이 없으므로 이는 거짓이 될 수 없습니다.
두 번째로, (10) ∀x(Ax ∨￢Ax) 형식의 문장입니다. 만약 Ax를 거짓이게 하는 대상이 논의영역에 있고 그것을 a라고 하겠습니다. 그러면 Aa는 거짓이기 때문에 ￢Aa는 참이 됩니다. 논의영역에 공집합일 경우도 마찬가지 입니다. 그러므로 ∀x(Ax ∨￢Ax)가 거짓이 되는 해석이 없으므로 이 문장은 거짓이 될 수 없습니다.
9. A, B, C를 임의의 문장이라고 하겠습니다. 그리고 A가 B의 귀결이든가 C의 귀결이라고 가정하겠습니다. 그러면 B가 참인 모든 해석에서 A가 참이거나 C가 참인 모든 해석에서 A가 참입니다. 그런데 B가 참인 모든 해석에서 B∨C는 참입니다. 또한 C가 참인 모든 해석에서 B∨C는 참입니다. 즉, B∨C가 참인 모든 해석은, B가 참인 모든 해석이거나 C가 참인 모든 해석입니다. B가 참인 모든 해석이거나 C가 참인 모든 해석에서 A는 참이므로 B∨C가 참인 모든 해석에서 A는 참이고 A는 B∨C의 귀결이 됩니다.
10. (a) 논의영역: 사람들의 집합, Gx: x는 로또 1등에 당첨되었다, Fx: x는 부자이다, a: 빌게이츠.
(b) 논의영역: 유한한 생명체들의 집합, Hx: x는 사람이다, Gx: x는 죽는다, Fx: x는 파충류이다.
(c) 논의영역: 자연수 집합, Fx: x는 홀수이다, Gx: x는 짝수이다.
(d) 논의영역: 자연수 집합, Fxy: x는 y보다 작다. (y는 x보다 크다.)
(e) 논의영역: 자연수 집합, Fx: x는 홀수이다, Gx: x는 짝수이다.
(f) 논의영역: 사람들의 집합, Gx: x는 사람이다, Fx: x는 동물이다, a: 웰시코기(강아지 이름 아무거나)
(g) 논의영역: 자연수들의 집합, Fx: x는 소수(prime)이다, Gx: x는 홀수이다, a: 2.
(h) 논의영역: 사람들의 집합, P: 총각은 결혼하지 않은 남자이다, Q: 총각은 결혼하지 않은 여자이다, R: 처녀는 결혼하지 않은 여자이다. (문장논리의 문장이므로 P는 참, Q는 거짓, R은 참인 아무 문장이나 사용해도 무방함.)
11. (a) 논의영역: 정수들의 집합, Fxy: x는 y보다 작다 (y는 x보다 크다. / Fyx의 경우, y는 x보다 작다.), Gx: x는 음수(negative integer)이다.
(b) 논의영역: 사람들의 집합, Px: x는 여자이다, Qx: x는 남자이다, Rx: x는 아버지이다. (생물학적 남성, 여성만을 고려.)
(c) 논의영역: 자연수들의 집합, Fxy: x는 y보다 작다. (y는 x보다 크다.)
12. {A, B, C, D, E}가 비일관적이어야 하니 A, B, C, D, E가 모두 참인 해석은 존재하지 않아야 하지만 다섯 문장 중 하나가 빠질 경우는 참인 그러한 집합을 찾아야 합니다. 가장 쉽게 찾을 수 있는 예시는 아래와 같은 거짓말쟁이 문장을 이용한 것이라고 생각합니다.
A: ‘B’가 거짓이다.
B: ‘C’가 거짓이다.
C: ‘D’가 거짓이다.
D: ‘E’가 거짓이다.
E: ‘A’가 거짓이다.
A, B, C, D, E가 모두 참인 경우, 한 문장이 참이면서 거짓인 경우가 나올 수 밖에 없습니다. 하지만 문장이 하나라도 빠지게 된다면 모두 참인 해석이 존재합니다.
13. ‘Fx: x는 유일신이다.’로 고려하고 a를 유일신으로 b를 아무 대상으로 할 경우, Fa∧￢Fb가 참이 됩니다. Fx를 참이게하고 ￢Fx를 거짓이게 하기 위해서는 하나의 대상만 있어도 되겠지만 문제의 의도상, a와 b가 지칭하는 대상이 있어야 할 것이므로 적어도 둘 이상의 원소가 있어야 할 것으로 보입니다.
- ∃x∃y∃z((Ax∧Ay∧Az)∧(x≠y∧y≠z∧z≠x)) 혹은 (((Aa & -Ab) & -Ac) & (Bb & -Bc)) 같은 문장을 사용하면 됩니다.
- ((∀x￢Fxx ∧ ∀x∃yFxy) & ∀x∀y∀z((Fxy ∧ Fyz) → Fxz))
14. 이 문장이 거짓이 되기 위해서는 P→Q와 Q→R이 모두 거짓이 되어야 합니다. P→Q가 거짓이 되기 위해서는 P가 참이고 Q가 거짓이 되어야 합니다. 하지만 이 경우, Q→P는 참이 됩니다. 마찬가지로, Q→P가 거짓이되기 위해서는 Q가 참이고 P가 거짓이 되어야 합니다. 하지만 이 경우, P→Q가 참이 됩니다. 그러므로 (P→Q)∨(Q→R)가 거짓이 되는 해석은 존재하지 않게 됩니다.
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